Algorithmus

 

Gleichschenkliges Dreieck. Merke Gleichseitiges Dreieck. Merke Einteilung von Dreiecken nach Seiten. Merke. Bei einem unregelmäßigen Dreieck sind alle Seiten unterschiedlich lang und alle Winkel verschieden groß.

Wenn man alle Sprossenspalten von rechts nach links mit 0 bis 6 durchnummeriert, dann kann man mit einem solchen 7-sprossigen Abakus alle natürlichen Zahlen zwischen 0 und darstellen und innerhalb dieses Zahlenraums addieren und subtrahieren, wenn folgende Regeln beachtet werden:. In jedes dieser Felder kann jeweils ein einzelnes Zeichen geschrieben werden; durch das Arbeitsalphabet Z wird definiert, welche Zeichen hierfür verwendet werden dürfen. Wir werden in diesem ersten Abschnitt die wichtigsten Methoden zusammenstellen, dabei an früher Besprochenes erinnern und auf Neues ausführlicher eingehen. Im zweiten Differenzieren-Kapitel werden wir die theoretischen Konzepte der Differenzierbarkeit von Funktionen und der Ableitung genauer formulieren und weiterentwickeln.

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Zu jeder zulässigen Perlenanordnung gehört ein bestimmter Zahlenwert, wobei das dritte und das vierte Beispiel zeigen, dass die Umkehrung dieser Aussage nicht richtig ist.

Was uns aber noch fehlt, ist ein Verfahren, Ableitungen konkret auszurechnen und ein Kriterium, wann sie überhaupt existieren. Damit - und mit einigen Konsequenzen - werden wir uns im Rest dieses Kapitels beschäftigen.

Wie wollen nun berechnen , was wir im vorigen Abschnitt als Idee formuliert haben: Wir gehen in zwei Schritten vor. Wir berechnen zunächst den Anstieg einer Sekante , d. Mit anderen Worten, wir gehen von x 0 ein Stück e nach rechts oder links je nach dem Vorzeichen von e und berechnen den Anstieg der Geraden durch die beiden Punkte des Graphen, die wir in der folgenden Zeichung als P und Q bezeichnen: Folgen und Grenzwerte und Grenzwerte reeller Funktionen.

Formel 2 versetzt uns in die Lage, Ableitungen zu berechnen. Sie ist in gewisser Weise der Ausgangspunkt der Differentialrechnung. Bei ihrer Herleitung - und auch im Beispiel 3 - haben wir uns auf die Ableitung an einer fixen gegebenen Stelle x 0 beschränkt.

Um den Charakter der Ableitung als Funktion zu unterstreichen, können wir die betreffende Stelle einfach als x bezeichnen und 2 in der Form.

Der Differenzenquotient ist in diesem Fall durch k gegeben rechnen Sie nach! Auch dieses Resultat können wir geometrisch verstehen: Rede- und Schreibweisen Zur Kennzeichnung der Ableitung einer termdefinierten Funktion kann der Funktionsterm mit einem Strich versehen werden.

Glücklicherweise existieren solche Regeln. Mit ihrer Hilfe, kann man die Zahl der Fälle, in denen die Formel 4 angewandt werden muss, auf ein Minimum reduzieren. Funktionen kombinieren inverse Funktion. Die Ableitungen all dieser Funktionen können wir auf jene von f und g zurückführen, was das Differenzieren zu einer relativ einfachen Angelegenheit macht die, wie wir unten sehen werden, auch von Computerprogrammen durchgeführt werden kann: Multiplikation mit einer Konstanten: Wir kommen nun zu den Ableitungen wichtiger spezieller Funktionen.

Zusammen mit den oben besprochenen Ableitungsregeln bietet dieser Abschnitt das Rüstzeug für das Differenzieren der wichtigsten in der Mathematik auftretenden Funktionen. Funktionen, die nicht zu ihrem Lernstoff gehören, überspringen Sie einfach! Eines der besonders schönen Resultate der Differentialrechung besteht darin, dass die Ableitungen aller Potenzfunktionen durch eine einzige Formel beschrieben werden können: Die Definitionsbereiche der Ableitungen lassen sich unmittelbar daraus ablesen.

Der Grund dafür ist am Graphen der Wurzelfunktion abzulesen: Er besitzt an dieser Stelle eine zur y -Achse parallele "vertikale" Tangente, und für diese lässt sich klarerweise kein endlicher Anstieg angeben.

Polynomfunktionen Die Berechnung der Ableitung einer Polynomfunktion können Sie mit Hilfe der oben besprochenen Ableitungsregeln auf die Ableitung von Potenzfunktionen, d. Um die Graphen der ersten und zweite Ableitung von Polynomfunktionen dritten Grades zu betrachten und zu untersuchen, wie sie von den Koeffizienten abhängen, rufen Sie das nebenstehende Applet auf.

Applet Erste und zweite Ableitung. Tangens und Cotangens Eigenschaften der Winkelfunktionen. Beim Differenzieren tritt nun ihre besondere Bedeutung für die Mathematik klar zu Tage: Die Exponentialfunktion mit Basis e ist identisch mit ihrer Ableitung: Die Eulersche Zahl e. Hyperbel- und Areafunktionen Die Ableitungen der Hyperbelfunktionen sind: Deren Inverse, die "Areafunktionen", haben folgende Ableitungen: Mit den in diesem Abschnitt wiedergegebenen Ableitungen und den weiter oben besprochenen Ableitungsregeln sollten Sie in der Lage sein, die meisten termdefinierten Funktionen zu differenzieren, insbesondere beliebige Polynom- und rationale Funktionen.

Polynome und rationale Funktionen. Monotonie, Extrema und Wendepunkte. Falls die Ableitung einer Funktion f in jedem Punkt eines Intervalls existiert und positiv negativ ist, so ist f in diesem Intervall streng monoton wachsend fallend.

Intuitiv leuchtet das ein, da die Tangente an den Graphen in jedem Punkt ansteigt abfällt , und wir verzichten hier auf einen formalen Beweis. Von besonderer Bedeutung sind jene Stellen, an denen sich das Monotonieverhalten ändert: Lokale Minimum- und Maximumstellen werden unter dem gemeinsamen Namen lokale Extremstellen oder kurz lokale Extrema zusammengefasst. Daher kann eine Funktion mehrere lokale Extremstellen mit gleichen oder unterschiedlichen Funktionswerten besitzen.

Bei den Hoch- und Tiefpunkten handelt es sich, bildlich gesprochen, um lokale Gipfel- und die Talpunkte des Graphen. Ist eine Funktion nicht für alle reellen Zahlen definiert, so können lokale Extrema auch an den Randstellen ihres Definitionsbereichs auftreten. Dann besitzt sie sowohl an der linken Randstelle a als auch an der rechten Randstelle b je ein lokales Maximum und im Inneren des Intervalls, an der Stelle c , ein lokales Minimum.

Bei der Suche nach lokalen Extrema einer gegebenen Funktion sollte man daher immer die Möglichkeit erwägen, dass sich an den Randstellen des Definitionsbereichs welche befinden.

Sehen Sie sich Ihren Graphen z. Welche von ihnen tatsächlich lokale Maxima oder Minima darstellen, muss dann noch extra entschieden werden. Wir werden dieses Thema im Kapitel über Anwendungen der Differentialrechung wieder aufnehmen.

Kriterien für lokale Extrema. An einem Wendepunkt ist der Graph "am steilsten" bzw. Sein Name rührt daher, dass sich an ihm die Tangente von einer Seite des Graphen auf die andere "wendet".

Wir belassen es hier bei dieser kurzen Begriffsvorstellung. Weiterführendes über Extrema und Wendestellen werden wir im Kapitel über Anwendungen sagen. Die Ableitung als Änderungsrate. Ist D x sehr klein, so gibt der Differenzenquotient ungefähr die Ableitung an: Eine Bemerkung noch zur Bezeichnung Rate. Eine "Rate" erkennt man an der Verwendung des Wortes " pro " oder an der Formulierung " bezogen auf ".

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